数学思维方法--化零为整巧解题

【记忆方法】 2016-03-19本文已影响人

　　记忆是人类心智活动的一种，属于心理学或脑部科学的范畴。记忆代表着一个人对过去活动、感受、经验的印象累积，有相当多种分类，主要因环境、时间和知觉来分。下面是学习啦小编为你整理的数学思维方法--化零为整巧解题，供需要学习的朋友参考。

　　数学思维方法(1)——集零为整巧解题

　　我们在平时学习的知识一般都是分层次、分内容的较零散的知识形式，在解答应用题时，就会将我们学习掌握的知识逐个知识点从储存的大脑中调出来分内使用。但是，有些题若按常规方法来解答不太容易，也比较麻烦，这时我们可以将思维方法转换一下，把问题看作一个整体，这样解题效果特别好。这种解决问题的的思维方法叫做集零为整法，或称为整体思维。

　　例1、有五个数的平均数是7;如把其中一个数改为9后，这五个数的平均数则为8。改动的那个数原来是多少?

　　[解题思路]：

　　你可能读了题目之后，想知道五个数各是多少，这显然是没有必要的。这道题的解答应该从整体去考虑，改动后的五个数的总和比原来增加：

　　8×5-7×5=5

　　那么，什么数“增加5”后变为9呢?这就太简单了，一年级的小朋友都会做。

　　解：根据分析，列综合算式为：

　　9-(8×5-7×5)=4

　　答：改动后的那个数是4。

　　例2、设有四个数，其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求这四个数。

　　[解题思路]：

　　此题按常规的解题习惯，须分别设四个未知数，然后列出四个方程，这样就出现了很大的难度，我们小学没学过方程组。如把四个数之和作为整体x,则可列出简易方程求解。

　　解：设四个数之和为x,则四个数为x-22、x-20、x-17、x-25，由题意可得

　　(x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x

　　解得x=28

　　所以，四个数依次为8、3、6、11。

　　请你试用集零为整的思维方法解答下面的题：

　　任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得五位数中质数的个数有多少个?

　　数学思维方法(2)——巧在变更豁然开朗

　　某山区农民收获了很多花椒，拿到集贸市场去卖，但销路不好，其原因是包装不吸引人。后来他们重新设计了一种漂亮、新颖的包装，很快就打开了销路。

　　这个例子说明了由于变更了花椒的包装，使得山区农民获得了可观的经济效益。

　　解数学题也要这样考虑，把问题进行适当的变更来达到化难为易，化繁为简的目的，从而达到顺利解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做变更思维法。

　　例：计算：1990×198.9-1989×198.9

　　[思路分析]

　　根据积的变化规律：一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的道理，可把被减数变更成为：199×1989，变更后的被减数199×1989和减数1989×198.8中都有相同的因数1989，可运用乘法分配律把它提取出来，由此得如下解法。

　　解：1990×198.9-1989×198.9

　　=199×1989-1989×198.9

　　=1989×(199-198.9)

　　=1989×0.1

　　=198.1

　　数学思维方法(3)——反面思考快速巧妙

　　如果要证明一台电视机坏了，可以有两种基本办法：一种是拆开电视机，检查零部件和线路，只要能找到一个故障，就可以断定说它坏了;另一种办法是接上电源，调节视频，如果接收不到相关频率的图象或声音，就断定它坏了。后一种思路实际上就：假定电视机没坏，那么接上电源，调整视频就能接收到清晰的图象和声音;现在收不到声音和图象，就与假定没坏产生矛盾，矛盾产生的根源在于假定电视机没坏，所以这个假定不成立，应该给予否定，既电视机坏了。这种反过来想问题的思考方法叫做逆向思维，可以在数学解题中借鉴。

　　例：永星小学的一次数学竞赛，共有10道题，每做对一道题得8分，每做错一道题扣5分，小华得了41分，他做对几道题?

　　[思路分析]

　　这道题固然可以按“常规”解法，设小华做对了x道题，做错了(10-x)道题，根据题意列出方程

　　8x=41+(10-x)×5

　　8x=41+50-5x

　　8x+5x=91

　　13x=91

　　x=7

　　答：小华做对了7道题。

　　如果用逆向思维，则可以得到如下新颖的解法：

　　解：假若小华10道题都做对，那么他应得10×8=80(分)

　　但他实际只得了41分，一共失了80-41=39(分)

　　条件告诉我们，每答错一道题“不仅不给分，还要倒扣5分”，即每答错一道题就失掉5+8=13(分)，由此就能求出他答错了39÷13=3(道)题。

　　10-3=7(道)

　　答：小华答对了7道题。

　　在数学上解答题时，用反面去思考问题，思路会如“柳暗花明”，往往可以收到意想不到的效果。请你在学习中多运用逆向思维法解决问题。

　　请你用逆向思维法解决问题：

　　有这样一个抓牌游戏：两人轮流抓54张扑克牌，每人每次可以抓1张到4张但不可以不抓。规定抓到最后一张牌者为输。想想，如果你先抓，怎样才能立于不败之地?

　　列举着眼开辟坦途(4)

　　通过对问题所有可能情形的一一列举来获得解答的方法，应用于数学题的解答就是根据题目的某一方面的要求全部举出(不可遗漏)基本符合要求的数据;然后从中挑选出完全符合题目要求的答案。这种方法叫做列举思维法。

　　例、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7和13整除，这个数最大是多少?

　　[思路分析]

　　这道题的数量关系十分复杂，而且题目所给的条件不够“充分”，如果用一般的方法来分析解答，看来比较困难。我们不妨用列举思维法来试试。

　　解：要使这五个数能被3、5、7和13整除，可知这个五位数是3、5、7和13的公倍数。因为3、5、7和13的最小公倍数是(3×5×7×13)=1365，这个五位数中1365的最大倍数是1365×73=99645，但99645中有两个9重复，不符合题意，因而可以从99645中逐步减少1365，直到寻找出符合题意的五位数。

　　99645-1365=98280(不符合题意)98280-1365=96915(不符合题意)96915-1365=95550(不符合题意)95550-1365=94185(符合题意)

　　可见这个最大的五位数是94185

　　请你用列举思维法解答下题。

　　*有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末二位数字相同，求此两数。

　　[思路分析]

　　把所求的两数所应满足的条件分解如下

　　数学思维方法(5)——一一对应巧解题

　　打上课铃了，同学们纷纷回到自己的座位上，每个同学和他们的座位之间就是一种对应关系;又如放学了，同学都回到自己的家了，这些同学与他们各自的家也是一种对应关系。对应关系是一种常见的普遍现象，每个对应都是按照一定的规律进行的。日常生活是这样，学习数学也不例外。有些数学题，如果按照常规方法去解答比较困难，这时我们就可以考虑把问题进行适当对应来达到化难为易的目的。从而使原问题得到顺利解决，这种思维方法叫做一一对应思维。

　　例、高级奶糖每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元。现将2千克高级奶糖、3千克普通奶糖、5千克水果糖混合在一起。问这种杂拌糖每千克多少元?

　　[思路分析]

　　这类问题实际上就是求平均数问题。由问题“这种杂拌糖每千克多少元?”知道，它的总数量应该总钱数，总分数应该是总千克数。由条件知道：10元与2千克、6元与3千克、2元与5千克分别相对应，由此可分别求出高级奶糖、普通奶糖、水果糖各自的钱数是：10×2=20(元)，6×3=18(元)，2×5=10(元)。三种糖果的总钱数是： 20+18+10=48(元)。三种糖果的总重量是2+3+5=(千克)。总钱数48元与总重量10千克相对应，由此可求出这种杂拌糖每千克的价格是：48÷10=4.8(元)

　　解：根据以上分析得：

　　(10×2+6×3+2×5)÷(2+3+5)=4.8(元)

　　答：这种杂拌糖每千克4.8

　　请你用一一对应思维方法来解答下面的题：

　　学校篮球队有12人合影留念，普通彩照洗2张的价格是16元，加洗一张0.8元。如果一人得一张照片，平均每人出多少钱?

　　数学思维方法(6)——凝聚发散沟通纵横

　　在日常生活中存在着一种普遍现象——凝聚发散。

　　例如，你往一锅采汤里滴一些香油，一会儿就会发现锅里有一大片油花;你往一条河里投下一块石头，也会出现一片浪花等等。这种现象在数学解题中有着广泛的运用。凝聚，就是思考，找出解决问题的规律;发散，就是运用规律，指导行动，使这个规律用于解决问题，从而可发展规律的广泛性。向“纵、横、深、广”拓展，向“少、精、活”探索。这样，学会一例，就可以驾驭一类，既能提高运算速度，又能有目的地把各类知识像糖葫芦一样串联起来，达到温故而知新的目的。这种思维方法叫做凝聚发散思维。

　　例、计算：32+64+128+256

　　[思路分析1]

　　按照从左到右的运算顺序计算

　　解法1、

　　32+64+128+256

　　=96+128+256

　　=224+256

　　=480

　　[思路分析2]

　　运用加法交换律和结合律：32和128结合，64和256结合，可以使计算简便。

　　解法2、

　　32+64+128+256